[转]盘点数学里十大不需要语言的证明

By | 2011/08/11

我数学很糟糕,但还是时不时被一些数学之美所震惊。我一直觉得我们的数学工具还太过复杂,描述稍稍复杂的事物时,复杂程度已经到了难以理解的地步。简单即是美,如果不方便大多数人理解,是不是说明还不够?

这篇文章摘自Starming,地址是这里,很不错的简单巧妙的数学,相当开眼界。另外文章里这十大证明,编号是从0开始的,给人一种相当亲切的感觉……


当谈到复杂数学定理的证明时,很多人常常为之色变,认为这只是一个枯燥的公式堆砌和深奥的数学推导过程。这当然是一个让笔者感到纠结的误解。因为数 学证明中包含的美丽与精巧实在是一道亮丽的风景线,而这种亮丽甚至不需要用语言来描述。所以我在这里盘点了数学里十大不需要语言的证明(poofs without words)。让读者在领略数学所包含的无与伦比的精巧之外,更从此爱上数学。

0. 勾股定理

这个大家小学就学过的古老定理,有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思(Elisha Scott Loomis)在 《毕达哥拉斯命题》( Pythagorean Proposition)提到这个定理的证明方式居然有367种之多,实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。

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实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况,而余弦定理的证明,同样可以不用语言。

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1. 关于反正切的恒等式

关于反正切,有如下两个很精彩的等式:

它们的证明方法也同样精彩

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2. 几何平均值小于算术平均值

这是不等式中最重要和基础的等式:

/gkimage/71/gi/w6/71giw6.png它也可以通过图形来证明。

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注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。剩下的就显而易见了。

3. 1+3+5+…+(2n-1)= n 2

这是奇数的求和公式,下图是当n=8时的情形

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4. 平方数的求和公式

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5. 立方数的求和公式

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6. 斐波那契数列的恒等式

可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21 ……

这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和, F n+1 = F n + F n-1

它的通项公式是

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有趣的是,这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n无穷大时 F n-1 / F n 越来越逼近黄金分割数0.618。正因为它的种种神奇性质,美国数学会甚至从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊。关于斐波那契数列,有一个恒等式是这样的

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这个等式很漂亮,不需要借助复杂的数学推导,它有一个很直观的证明方法

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7. 结果为1/3的一组分子式

下面是一组分子式,他们的结果都等于1/3 :

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8. 最受数学家喜爱的无字证明

1989 年的《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly)上有一个貌似非常困难的数学问题:下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘,现在请你用右边的三种(仅朝向不同的)菱形把整个棋盘全部 摆满(图中只摆了其中一部分),证明当你摆满整个棋盘后,你所使用的每种菱形数量一定相同。

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《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色,整个图形瞬间有了立体感,看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面,它们的数目显然应该相等。

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它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起,实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广,深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派logo的出处。

9. 棋盘上的数学证明

在一个8×8的国际象棋棋盘上,我们可以用32张多米诺骨牌(是两个相连正方形的长方形牌)覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉,剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗?

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答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格,一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色,另一种颜色是30个,因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢?假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格,那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住? 我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论,存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前,可以先自行思考如何证明这个结论。

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上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方 格,会让这个封闭线路变成两段线路(如果切掉的方格是相连的,那就是一条线路)。在这两段(或一段)线路中,两种颜色的格子数量都是偶数,故分别都可以被 若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的,而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞(Ralph Gomory)找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。

数学里,有一种证明方法叫做Proofs without words。诚然,这种证明方法算不上严格,但是它却将数学中包含的最精巧的东西一览无余地展现了出来。本文列举了十个经典的例子。你还见过什么高明的 吗,可以在回帖中写出来。如果有很漂亮的,我会在这里推荐出来。 <– 如果您有,请回复到原帖,我不会修改转帖的(xishui注)。


有2人评论 [转]盘点数学里十大不需要语言的证明

  1. staroid

    叹为观止,准备去把提到的两本书下过来看看~

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